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怎样解决五金弹簧,异型弹簧,工艺品弹簧弹性问题

设想在重力作用下，一个物体缓慢从地面升至高度h处。 
在有限高度内，重力可视为恒量mg。不随高度的变化而变化。 
因此 重力对物体所做的功为 -mgh。（重力与位移方向相反，所以功为负） 
重力属于保守力，保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量。 
因此，重力势能的表达式为 mgh。（以地面为势能零点）

而对一个弹性系统，弹性恢复力 F = - kx。 
（k为弹性恢复系数，x表示离开平衡位置的距离）。 
与重力不同，弹性恢复力不是常量，随着位移x的变化而变化。 
因此 这个题目需要微积分知识的基础。

距离平衡位置为x时，恢复力为 F = -kx，负号表示恢复力的方向是指向平衡位置。其中k为弹性恢复系数。

从平衡位置 到达x位置，恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分。即 
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2

恢复力属于弹性系统的内力，和重力一样，也属于保守力。 
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值 
以平衡位置为势能零参考点。因此 
弹性势能 E = -W = kx^2/2

做 F---x 关系曲线。从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线。 
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形。 
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W。

上面讲的这段 在中学 接触过没？如果没有的话，那就直接承认。对于知识储备不足而尚不能证明的理论，先暂且直接承认，这也是常用的学习方法。

对于本题目， 
以 弹性力 F = -kx 作为y轴， 
以 伸缩量 x 作为 x轴 
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线。 
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后，得到第四象限的一个三角形。 
三角形的面积为 
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2 
由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方），所以 F所做的功是面积的负值，即 
W = -S = -kx^2/2 
而弹性势能为 
E = -W = kx^2/2

为什么说图像的面积就是弹簧弹性势能呢
弹性势能的公式是中学阶段一个非常“基本”的物理公式，但在教科书上却见不到其推导过程。原因就在于其推导过程超出了中学生的知识范围。
求知欲强的学生 总是希望能知道其推导过程。但是把推导过程给出后，因为知识基础不够用，所以看不懂，会产生各种疑问。当这些疑问解决不了的时候，希望不要心急，因为你的知识储备不足

简单回答你的疑问。
因变量F作为自变量x的函数，该曲线下的面积 就是 F所做的功。这是一个数学结论。
你可以设想，假设 F 是一个常量。那么经过位移 x-x0后，F所做的功就是 F*(x-x0)。现在把这个结论数学化！ 依然做 F-x函数图象。那么图象是一条与 x 轴平行的直线。该直线距离x轴的距离就是F。因此 功 F(x-x0) 就在该函数图象上对应着 一个矩形的面积，而该矩形由从F直线的起点和终点向x轴做投影而形成。
上一段讨论中 F 是一个常量。F所做的功的表达式也因此很简单。而当 函数图象不在是与x轴平行时，F所做的功就等于 F关于x的积分。而“积分”这个数学概念在中学阶段还没有接触，所以你会很难理解。而在数学上，“积分”的结果依然是函数曲线向x轴做投影后所围成的图形的面积。 

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