在电力系统故障录波中，随着采样频率和录波精度的提高，大量的采样数据需要被记录下来，因此必然会有大量的数据需要存储和远距离传输，过多的数据会增加传输的时间，而且会影响到传输的可靠性，因此对采集到的故障暂态数据进行压缩处理是非常必要的。小波变换是一种对信号时间-尺度(时间-频率)的分析方法，在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，对信号能够**重构，它在电力系统数据压缩方面的应用已经被深入研究^[1,2]。
       多小波分析是近几年来发展起来的基于小波理论的一种新理论，多小波可以同时具有对称性、正交性、短支撑性、高阶消失矩，这些性质是传统实系数小波不能同时具有的^[3]。与传统小波的构造方法类似，多小波的构造方法也有许多，但多小波的构造要困难得多，主要利用多小波函数和多尺度函数的正交性、紧支撑性、对称性、高阶消失矩、逼近阶和插值性等方面进行构造，目前还没有显式的多小波构造方法，有Geronimo等人构造出的GHM多小波^[4]，Chui等构造出的CL多小波^[5]等。
       多小波具有比传统小波更优良的性能，本文针对电力系统故障暂态信号的特点，研究了基于多小波的电力系统故障暂态数据压缩方法，并与传统小波的压缩效果进行对比，旨在研究多小波在电力系统故障诊断与继电保护等领域应用的可行性和与传统小波相比的优越性。
2  多小波的Mallat算法
       多小波的多分辨分析是小波多分辨分析的扩展,它的多分辨分析是由多个尺度函数生成，相应的由多个小波函数平移与伸缩构成L²(IR)空间的基。
       多小波的多尺度函数和多小波函数满足如下两尺度矩阵方程^[5]：

式中  H_k和G_k为r×r维系数矩阵，rÎN为多小波的维数。
       根据多小波的多分辨分析，则有如下**多小波分解和重构公式^[6]：

    以r =2维的多小波为例，图1表示多小波分解与重构的过程。

    从图1可以看出，多小波的分解与重构与小波的主要不同在于信号在分解和重构前后需要分别进行预/后处理，每次分解后的低频和高频系数分别为2维。
       以GHM多小波为例，与DB4小波进行比较，选择DB4小波的原因在于其具有二阶消失矩，是正交的，滤波器的长度为4；对于GHM多小波来说，其两个尺度函数是对称的，两个小波函数是反对称的，并且均为紧支撑，GHM多小波（包括不同尺度、小波函数本身和相互之间）是正交的，而且GHM多小波同样具有二阶消失矩，GHM多小波的这些属性保证了其具有好的局域性、线性相位、变换的能量恒定、较强的局部化能力和较好的光滑性。
3  多小波的能量压缩
       与传统小波相比，多小波在分解与重构过程中，需要涉及原始数据的预处理和重构数据的后处理，不同的预/后处理方法对多小波应用性能的影响非常大，根据实际应用需要选择相应**的预/后处理方法是多小波应用的关键问题，也是值得进一步研究的问题。
       在本文中采用GHM多小波和与之非常类似的DB4小波。利用小波(或多小波)对信号进行分解，高频部分的系数在整个系数中的含量是小波(或多小波)是否适用于数据压缩的重要参考因素，下面利用GHM多小波的不同预/后处理方法和DB4小波对一故障暂态信号进行分解，并对分解结果进行比较，及对它们的能量压缩率进行对比。
       采用EMTP仿真500kV高压输电线路12.5%处发生单相接地短路时，故障相电压的暂态波形作为原始信号。预/后处理采用文[7]中提到odd/even法、deriv.法、Haar法、mod.Haar法和GHM int.法，以及文[6]、[8]~[10]中提到的方法，暂称为Xia_1996法、Xia_1998法、 DPHardin_b法、DPHardin_c法和JTMiller_a法。对于同一种多小波，不同的预处理方法对信号分解后的高频系数差别非常大，若考虑对信号压缩处理，希望信号的高频分解部分幅值尽可能的小，为了比较不同的预/后处理方法对多小波的分解结果以及与DB4小波的对比，采用文[6]中定义的能量压缩率（Energy compaction ratio）,即

式中  d(n)为分解后的所有高频系数，f(n)为所处理信号的全部采样点数据。
    分别计算出采用不同的预/后处理方法的多小波能量压缩率和DB4小波的能量压缩率，如表1所示。

    从表1中可以看出，Xia_1998法的能量压缩率数值**小，其次为DB4小波、GHM int.法、mod.Haar法和DPHardin_c法，Xia_1996法的能量压缩率数值**，其次为Haar法和deriv.法。另外，在仿真计算中，多小波对故障暂态信号的重构误差精度比传统小波高出几个数量级，选择合适的预处理方法可以获得比传统小波更好的能量集中率，从上述分析的结果来看，采用Xia_1998法和GHM int.法的多小波将会比采用其它预处理方法对数据压缩效果要好。
4  基于多小波的信号压缩方法
       小波经过分解后，保留下来的系数与原始信号的数据个数是相同的，由于输电线路故障产生的暂态数据主要隐含在信号的奇异点中，所以可以通过设置阈值来舍弃幅度较小的小波系数，信号经重构后实现对信号的压缩。其基本原理是，设置某一尺度j下的阈值为

式中  N为原始信号的数据长度；d_j(n)为小波分解后的细节；0£l£1为比例系数，l=0.1表示阈值设置为小波细节系数**值的0.1倍。
        信号经过J级压缩处理后，重构信号的小波细节为

    所以只需存储和传输信号较少的数据，即小波分解的低频系数和较少的高频系数的数据，这样一来，可以实现对原始数据的压缩。当需要原始数据时，可以根据小波的重构公式通过储存的数据恢复原信号。
       基于多小波的数据压缩原理与小波完全一样，**有所区别的是，多小波对每层分解的高频系数进行处理时，需要处理多维的数据，如图2所示。

    对于数据的压缩，另外一种常用的方法是对信号进行多小波尺度的扩展，保留**值**的系数，在这种情况下，可以仅用全局阈值来压缩信号，以实现信号的压缩或相对均方差规范的信号恢复。
       在后面仿真结果一节中，将基于不同预处理方法的GHM多小波，利用上述两种数据压缩方法对电力系统故障暂态数据进行压缩。
       为了便于对压缩效果的比较，定义相应的衡量指标如下：
       （1）信号的压缩比

式中  N_c为信号**终保留的系数个数；N为原始信号的采样总个数。
    （2）信号重构后的平均误差e；
    （3）信号重构后的均方误差s；
    （4）信号重构后的赋范均方误差。

5  数据压缩仿真结果
      原始信号仍采用前面所提到的故障暂态电压信号，为了便于对比，对原始信号除以500，使其幅值在±1之间，如图3(a)所示。
       采用**种压缩方法，利用不同预处理方法的GHM多小波对该信号进行数据压缩，图3(b)~(d)分别为压缩后的波形和误差，图3(e)为利用DB4小波压缩后的波形和误差，对以上信号均分解两层。从图3可以看出，对于同一多小波，采用不同的预处理方法对同一种信号进行压缩处理，恢复后的信号与原信号的瞬时误差各不相同，GHM.init方法、Xia_1998方法和DB4小波压缩后的信号恢复效果较好，其余方法的恢复效果较差。
       分别计算出4个表征压缩效果的指标如表2所示，其中“**系数模值”为小波或多小波分解过程中每层高频部分**值**的系数。
       从表2可以看出：
       （1）不同的预处理方法其信号分解后的**系数模值与压缩效果有一定的关系，若**系数模值偏大(如采用Haar.方法和Xia_1996方法)，其压缩效果差；

       （2）采用GHM.init方法、JTMiller_a方法和Xia_1998方法的GHM多小波对原始信号压缩后的压缩比均比DB4小波的压缩比小；
       （3）采用GHM.init方法、Xia_1998方法、JTMiller_a方法和DB4小波的均方差和赋范均方差较小，说明其压缩处理后压缩信号的恢复效果较好，而其余方法则恢复效果较差。
       为了进一步分析GHM多小波的压缩效果，绘制出压缩后信号的压缩比随分解层数变化的曲线，如图4所示。其中，实线表示采用DB4小波的压缩比变化，虚线表示采用GHM.int法的GHM多小波的压缩比变化，破折线表示采用Xia_1998法的GHM多小波的压缩比变化。

       从图4可以看出：采用GHM.int法的GHM多小波的压缩效果**，采用Xia_1998法的GHM多小波的压缩效果总体比DB4小波要好，但不十分明显。
       采用**种方法，在设置相同阈值的情况下，若分解两层，利用GHM多小波可以获得比DB4小波更好的压缩比，但是其均方差和赋范均方差比DB4要大，这种情况随着分解层数的增加将不存在，为此我们采用第二种数据压缩方法，该方法可以事先确定数据的压缩比，在相同压缩比下，计算重构的均方差和赋范均方差来比较压缩效果。这里对所有信号均分解6层，表3为采用该方法时，利用预处理方法为GHM.init方法的GHM多小波对不同故障信号进行数据压缩的效果。
       从表3可以看出：在相同压缩比下，利用预处理方法为GHM.init方法的GHM多小波对不同故障信号进行数据压缩的效果均比利用DB4小波要好，这也进一步验证了前一种压缩方法所得出的结果。

6  结论
       多小波是一种基于小波理论的新的信号处理方法，理论上多小波与传统小波相比，其存在的优势在于它优良的性能，但实际中其预处理方法的影响，一定程度上减少了该优势。本文尝试利用多小波应用于电力系统故障暂态数据的压缩。通过详细地分析与比较，进一步验证了预处理方法的选择是影响多小波压缩效果的关键因素，若选择合适的预处理方法，利用多小波对电力系统故障暂态数据进行压缩，可以获得比传统小波更好的压缩效果。